Условие
Найдите w так, чтобы отражение относительно гиперплоскости, ортогональной w, перевело x=(4,2,4)ᵀ в (a,0,0)ᵀ при a>0. Выпишите матрицу отражения.
Ответ источника
Отражение сохраняет длину, поэтому a²=4²+2²+4². Затем можно взять w=x−(a,0,0)ᵀ и использовать U=I−2wwᵀ/(wᵀw).
Числа
‖x‖=6, значит a=6. Выбираем w=(−2,2,4)ᵀ, wᵀw=24.
Тогда
U=I−(1/12)[[4,−4,−8],[−4,4,8],[−8,8,16]]
= [[2/3,1/3,2/3],[1/3,2/3,−2/3],[2/3,−2/3,−1/3]].
Проверка
Умножение даёт U(4,2,4)ᵀ=(6,0,0)ᵀ. Матрица симметрична и U²=I.
Можно заменить w на любой ненулевой скалярный кратный: проектор wwᵀ/(wᵀw) и матрица отражения не изменятся.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 40 · CC BY 4.0. Конструкция источника сохранена; явная матрица вычислена.