Условие
В n независимых наблюдениях r категорий имеют вероятности pᵢ, частоты νᵢ. Нормируйте νᵢ*=(νᵢ−npᵢ)/√(npᵢ), найдите ковариационную матрицу V и представьте её как I−vvᵀ.
Ключ источника
Eνᵢ=npᵢ; Varνᵢ=npᵢ(1−pᵢ); Cov(νᵢ,νⱼ)=−npᵢpⱼ.
После нормировки Varνᵢ*=1−pᵢ, Cov(νᵢ*,νⱼ*)=−√(pᵢpⱼ).
Проектор
Положим v=(√p₁,…,√p_r)ᵀ. Тогда vᵀv=Σpᵢ=1 и V=I_r−vvᵀ.
Поэтому Vᵀ=V и V²=V: это ортогональный проектор на подпространство, перпендикулярное v. Его ранг равен r−1.
Исправление индекса
В ключе вектор заканчивается √p_n, хотя число категорий обозначено r. Здесь индекс исправлен на √p_r. n — объём выборки и не является числом компонентов вектора вероятностей.
Идемпотентность объясняет появление r−1 степеней свободы в простом χ²-тесте полностью заданного мультиномиального распределения.
statistics_pro 13.3 · CC0 1.0 · моменты и проектор сохранены; индекс исправлен.