Условие
Для стандартного винеровского процесса найдите Corr(W4−W2,W3−W1), а затем условные среднее и дисперсию второго приращения при известном первом.
Ответ источника
Corr=0,5; E(W3−W1|W4−W2)=0,5(W4−W2); Var(…|…)=1,5.
Ковариация через пересечение интервалов
A=W4−W2 относится к [2,4], B=W3−W1 — к [1,3]. Общая часть имеет длину 1, поэтому Cov(A,B)=1. Var(A)=Var(B)=2. Следовательно, Corr=1/√(2·2)=1/2.
Условное нормальное распределение
Пара (A,B) совместно нормальна. Коэффициент условного среднего Cov(B,A)/Var(A)=1/2. Условная дисперсия:
2−1²/2=3/2.
Она не зависит от наблюдённого значения A. Уменьшение с безусловной дисперсии 2 до 1,5 отражает информацию об общей части интервалов.