Условие
Есть три центрированные, но не нормированные переменные и 100 наблюдений. Собственные значения выборочной ковариационной матрицы равны 5,4,1. Найдите сумму исходных дисперсий, длины и дисперсии главных компонент и долю, объяснённую первыми двумя.
Ответ источника
Сумма дисперсий=5+4+1=10. Выборочные дисперсии главных компонент — 5,4,1. Первые две объясняют (5+4)/10=0,9=90%.
Длины компонент
При обычной выборочной ковариации с делителем n−1=99 квадрат евклидовой длины центрированного столбца компоненты равен 99 умножить на её выборочную дисперсию. Поэтому длины:
√(5·99), √(4·99), √(1·99) — ровно форма ключа.
Почему сумма сохраняется
След ковариационной матрицы равен сумме дисперсий исходных признаков и одновременно сумме её собственных значений. Ортогональный поворот в главные направления перераспределяет разброс, но не меняет общий след.
Масштаб признаков
В условии признаки измеряются в одних единицах и только центрируются. Если предварительно стандартизировать каждый признак до единичной дисперсии, анализ проводился бы по другой матрице и собственные значения изменились бы.
statistics_pro 16.5 · CC0 1.0 · все численные ответы ключа сохранены; объяснение добавлено.