Условие
Два независимых наблюдения: H0 — U[0,1], Ha — плотность f(x)=2x на [0,1]. Найдите наиболее мощный критерий уровня 5%.
Отношение правдоподобий
Под H0 совместная плотность равна 1, под Ha — 4x₁x₂. Поэтому по лемме Неймана — Пирсона H0 отвергается при X₁X₂>t.
Распределение произведения под H0
Для независимых U,V∼U[0,1] и 0<t<1:
P(UV>t)=∫_t^1[1−t/u]du=1−t+t ln t.
Источник записывает интеграл с пределами, не соответствующими этому событию. Корректное уравнение уровня:
1−t+t ln t=0,05.
Численный порог
Единственный корень в (0,1) равен t≈0,7009200. Следовательно, критерий уровня 5%: отвергать H0, если произведение двух наблюдений превышает примерно 0,70092.
Большое произведение поддерживает альтернативу, поскольку плотность 2x повышает вероятность значений около единицы. Отдельно большие X₁ или X₂ недостаточны, если второй множитель мал: отношение правдоподобий зависит от произведения.
statistics_pro 12.16 · CC0 1.0 · форма критерия сохранена; интеграл и порог исправлены.