Условие
Xᵢ имеют непрерывную функцию распределения F. Найдите закон Yᵢ=F(Xᵢ), минимум Y_(1), а затем точные 95%-е квантили статистики Колмогорова D₁ и D₂.
Преобразование вероятности
При непрерывной F Yᵢ=F(Xᵢ)∼U[0,1]. Для n независимых наблюдений минимум имеет F_min(y)=1−(1−y)^n.
Один элемент
Для U∈[0,1] эмпирическая функция с одним наблюдением отличается от теоретической максимумом D₁=max(U,1−U). Поэтому D₁ равномерна на [1/2,1], и q₀․₉₅=0,975 — ответ источника.
Два элемента
Для упорядоченных U_(1)≤U_(2): D₂=max(U_(1), 1/2−U_(1), U_(2)−1/2, 1−U_(2)). Для d≥1/2 условие D₂≤d сводится к U_(1)≥1−d и U_(2)≤d.
Область двух упорядоченных равномерных точек имеет плотность 2. Вероятность допустимой области равна 1−2(1−d)². Приравнивая к 0,95, получаем d=1−√(0,05/2)≈0,841886.
Эти малые-n квантили точные и не требуют асимптотической таблицы Колмогорова.
statistics_pro 12.12 · CC0 1.0 · ответы источника сохранены; вывод развёрнут.