Условие
Xᵢ независимы N(μ,1), n=10. Найдите вероятность покрытия μ интервалом [X̄−0,7;X̄+0,7] и постройте 90%-й интервал [X̄−k;X̄+k].
Распределение среднего
X̄∼N(μ,1/10), поэтому Z=√10(X̄−μ) стандартно нормальна.
Покрытие ±0,7
Событие покрытия равно |Z|≤0,7√10. Поэтому
P=2Φ(0,7√10)−1≈0,9731433.
То есть фиксированная полуширина 0,7 здесь соответствует примерно 97,31%-му, а не 95%-му покрытию.
90%-й интервал
Для центральной вероятности 0,9 нужен квантиль z0,95≈1,644854. Отсюда k=z0,95/√10≈0,5201484. В ключе источника записано приближение 1,65/√10; точное численное значение здесь уточнено.
Поскольку дисперсия 1 известна и распределение нормальное, это точные конечновыборочные результаты, а не только ЦПТ-приближения.
statistics_pro 9.5 · CC0 1.0 · ключ k сохранён в уточнённом виде; покрытие вычислено.