Четыре оценки среднего: несмещённость, дисперсия и выбор по MSE

Условие

Для iid Xᵢ с E(X)=μ, Var(X)=σ² сравните A=(X₁+X₂)/2, B=(X₁+X₂+X₃)/3, C=2X₁−X₂, D=(X₁+…+X₂₀)/21. Какие несмещённы, какая из них имеет наименьшую дисперсию и что выбрать по MSE при σ=0,5μ?

Ключ источника

Несмещённы A,B,C. Среди них наименьшая дисперсия у B. Последний MSE-пункт в ключе не завершён.

Редакционный расчёт

Var(A)=σ²/2; Var(B)=σ²/3; Var(C)=5σ². У D E(D)=20μ/21, bias=−μ/21, Var(D)=20σ²/441.

При σ²=μ²/4 получаем MSE/μ²: A=1/8, B=1/12, C=5/4, D=2/147≈0,01361. Поэтому D имеет наименьший MSE среди четырёх, несмотря на небольшое смещение.

Вывод

Минимальная дисперсия среди несмещённых и минимальный MSE — разные критерии. Допуская смещение, можно уменьшить общую среднеквадратичную ошибку. При другом отношении σ/μ порядок MSE может измениться.

statistics_pro 7.5 · CC0 1.0 · первые ответы сохранены; MSE-пункт завершён редакцией.