Условие
В модели y=βx+u без константы совместное распределение (x,z,u) имеет исходы (0,0,−1),(1,1,−1),(0,0,1),(1,0,1) с вероятностями 0,2;0,3;0,3;0,2. Найдите вероятностные пределы МНК и IV, где инструмент для x — z.
Ключ источника не заполнен. Ниже — редакционный расчёт для независимых одинаково распределённых наблюдений из указанной таблицы.
Предел МНК
Без константы β̂_OLS=Σxy/Σx²=β+Σxu/Σx². По закону больших чисел E(x²)=0,3+0,2=0,5, E(xu)=−0,3+0,2=−0,1.
Следовательно, plim β̂_OLS=β−1/5. Нулевое маргинальное среднее u не устраняет корреляцию произведения xu.
Предел IV
β̂_IV=Σzy/Σzx=β+Σzu/Σzx. По таблице E(zx)=0,3, E(zu)=−0,3. Поэтому plim β̂_IV=β−1.
Почему инструмент не исправляет оценку
Условие релевантности E(zx)≠0 выполнено. Но E(zu)=−0,3≠0, то есть инструмент связан с ошибкой. Одной связи с регрессором недостаточно: IV использует эту связь вместе с требованием ортогональности структурной ошибке.
В данном примере предельное отклонение IV по модулю больше отклонения МНК. Название метода не гарантирует улучшение при произвольно выбранном инструменте.
Не менять модель на центрированную
В условии нет константы, поэтому используются необработанные моменты E(xu),E(x²),E(zu),E(zx). Формулы через ковариации соответствовали бы модели с константой или центрированным данным и могли бы дать другие числа.
Борис Демешев и участники · Исходная таблица · CC BY 4.0. Ответы выведены редакцией.