Условие источника
Исходные независимые величины равномерны на [0,a], a>2. Найдите ММП-оценку a в четырёх случаях: верхние значения заменены на 2 и видна выборка (1,7;2;0,8;2;2;0,9); верхние значения удалены и видны (1,7;0,8;0,9); нижние заменены на 2 и видны (2,7;2;3,8;2;2;4,9); нижние удалены и видны (2,7;3,8;4,9).
Ответы в ключе отсутствуют; далее — редакционное решение. Для усечения используется условное распределение сохранённых значений.
Верхнее цензурирование
Три точных значения дают множитель a⁻³, три цензурированных — (1−2/a)³. Поэтому L∝(a−2)³/a⁶. Производная logL равна 3/(a−2)−6/a; максимум при â=4.
Верхнее усечение
При условии y≤2 плотность равна (1/a)/(2/a)=1/2 на [0,2] и не зависит от a. Все a>2 дают одинаковое условное правдоподобие: параметр не идентифицируется по оставшимся значениям.
Нижнее цензурирование
Три значения 2 обозначают событие y*≤2 с вероятностью 2/a, три остальных наблюдаются точно. L∝(2/a)³a⁻³ при a≥4,9. Критерий убывает, поэтому â=4,9.
Нижнее усечение
Условное распределение сохранённых величин равномерно на [2,a]. L=(a−2)⁻³ при a≥max y=4,9. Снова â=4,9.
Что различается
Совпадение двух последних оценок не делает механизмы одинаковыми: их правдоподобия и информация различны. При верхнем усечении утрачивается именно доля исключённых наблюдений, которая могла бы сообщить о длине исходного отрезка. Если исходное n или число удалённых строк известно, это нужно включить как дополнительные данные.
Борис Демешев и участники · Четыре исходных случая · CC BY 4.0. Полное решение редакции.