Условие
В модели yᵢ=βxᵢ+uᵢ нормальные ошибки имеют дисперсию exp(γ₁+γ₂xᵢ). Сформулируйте гомоскедастичность, найдите ограниченные оценки, условия первого порядка без ограничения и явную LM-статистику.
Часть ответа источника
H₀:γ₂=0; β̂_R=Σxᵢyᵢ/Σxᵢ²; γ̂₁,R=log(SSR_R/n). Остальные вычисления ниже добавлены редакцией при условной независимости ошибок и фиксированных x.
Полное правдоподобие
Пусть eᵢ=yᵢ−βxᵢ, vᵢ=exp(γ₁+γ₂xᵢ). Тогда ℓ=−(n/2)log(2π)−(1/2)Σ[logvᵢ+eᵢ²/vᵢ]. Score-уравнения:
Σxᵢeᵢ/vᵢ=0;
Σ(eᵢ²/vᵢ−1)=0;
Σxᵢ(eᵢ²/vᵢ−1)=0.
LM с учётом неизвестного масштаба
Оцените ограниченную модель и положите qᵢ=ûᵢ²/σ̂²−1, σ̂²=SSR_R/n. После исключения nuisance-параметра γ₁ эффективный score для γ₂ равен (1/2)Σ(xᵢ−x̄)qᵢ, информация — (1/2)Σ(xᵢ−x̄)².
Поэтому LM=[Σ(xᵢ−x̄)qᵢ]²/[2Σ(xᵢ−x̄)²]. При H₀ и регулярных условиях статистика асимптотически имеет χ²₁-распределение.
Проверка предпосылок
Нужны ненулевая Σx² для оценки β, положительная остаточная сумма для логарифма масштаба и ненулевой разброс x для отдельной идентификации γ₂. Нормальность обеспечивает использованную информацию и ортогональность mean- и variance-score. Формула не является точным χ²-тестом для любой конечной выборки.
Гомоскедастичность означает постоянную дисперсию, а не γ₁=0: последний параметр остаётся свободным и задаёт её уровень.
Борис Демешев и участники · Условие и частичный ответ · CC BY 4.0. Незавершённые пункты дополнены редакцией.