Условие и обозначения
В y=β₁+β₂d+u индикатор d делит данные на две группы. В каждой 100 наблюдений; суммы y равны 200 и 300, суммы y² — 4000 и 5000. Найдите МНК, обычный 95%-й интервал β₂, HC0 и HC3, интервал с поправкой HC1, затем GLS при Var(u|d)=σ²(1+3d). Связанное задание просит общие формулы для групп размеров n₀,n₁.
Полного решения в источнике нет; далее — редакционный расчёт. Обозначим внутригрупповые суммы квадратов через S₀,S₁.
Общие формулы
β̂₁=ȳ₀, β̂₂=ȳ₁−ȳ₀. Обычная ковариационная матрица равна s²[[1/n₀,−1/n₀],[−1/n₀,1/n₀+1/n₁]], где s²=(S₀+S₁)/(n−2).
HC0=[[a,−a],[−a,a+b]], a=S₀/n₀², b=S₁/n₁². Для HC3 замените a,b на a/(1−1/n₀)² и b/(1−1/n₁)². Дисперсия суммы β̂₁+β̂₂ равна соответственно s²/n₁ или b; робастные оценки не обязаны всегда превышать обычные.
Числа
Средние 2 и 3, поэтому коэффициенты (2,1). S₀=3600, S₁=4100, SSR=7700, s²=7700/198. HC0=[[0,36,−0,36],[−0,36,0,77]]; HC3 равна этой матрице, делённой на 0,99².
Обычная стандартная ошибка β₂≈0,881917. При нормальных гомоскедастичных ошибках точный интервал: 1±t₀․₉₇₅,₁₉₈·0,881917, где t≈1,972017. HC1=(200/198)HC0 здесь даёт ту же дисперсию наклона из-за равных размеров групп; её t-калибровка при гетероскедастичности лишь приближённая.
Известное отношение дисперсий
GLS сохраняет групповые средние и β̂₂=1. Оценка масштаба σ² равна (3600+4100/4)/198≈23,358586. Дисперсия эффекта оценивается как σ̂²(1/100+4/100), стандартная ошибка≈1,080708. Интервал с t₁₉₈ точен при дополнительной нормальности и верном отношении дисперсий; без неё это не точная конечновыборочная гарантия.
Борис Демешев и участники · Числовая задача, общие группы · CC BY 4.0. Задания объединены; полный ответ редакции.