Вопрос источника
После деления каждого уравнения yᵢ=β₁+β₂xᵢ+uᵢ на xᵢ² гетероскедастичность была устранена. Какой вид имела дисперсия исходной ошибки?
Ключ
Var(uᵢ)=cxᵢ⁴ для общей положительной константы c. При случайных регрессорах естественно читать это как условную дисперсию при фиксированной X.
Редакционный вывод
Новая ошибка vᵢ=uᵢ/xᵢ². Для фиксированного ненулевого xᵢ масштабирование случайной величины умножает дисперсию на квадрат масштаба:
Var(vᵢ|X)=Var(uᵢ|X)/xᵢ⁴.
Если левая часть одинакова и равна c для всех i, то исходная дисперсия равна cxᵢ⁴. Степень четыре появляется потому, что уравнение делится на x², а дисперсия — на квадрат этого делителя.
Полностью преобразованная модель
Правильная запись: yᵢ/xᵢ²=β₁(1/xᵢ²)+β₂(1/xᵢ)+vᵢ. Нельзя поделить только отклик и оставить исходные регрессоры: это будет другое уравнение.
В преобразованной записи прежний свободный член сопровождается признаком 1/xᵢ². Автоматическое добавление ещё одной обычной константы в программу изменило бы множество моделей и нарушило бы эквивалентность исходной задаче.
Ограничения
Требуются xᵢ≠0. Устранение неодинаковых дисперсий не гарантирует устранение корреляции ошибок или эндогенности; о них исходный вопрос ничего не утверждает. Ответ восстанавливает только масштаб дисперсии, который согласуется с данным преобразованием.
Борис Демешев и участники · Исходный вопрос и ответ · CC BY 4.0. Ключ сохранён; преобразование объяснено.