Условие
Оцените yᵢ=βxᵢ+uᵢ для x=(1,2,2), y=(1,2,3). Найдите МНК, гомоскедастичную стандартную ошибку, HC0 и HC3. Затем найдите эффективную линейную оценку при Var(uᵢ|xᵢ)=σ²(3xᵢ−2) и при Var(u|X)=σ²[[4,−1,0],[−1,9,0],[0,0,1]].
Ответы источника
β̂_OLS=11/9; se=√(5/162); se_HC0=√168/81; se_HC3=√2649/180; для диагональной гетероскедастичности β̂_GLS=7/6. Последний пункт ключа пуст.
Редакционная проверка стандартных ошибок
Остатки равны (−2/9,−4/9,5/9), SSR=5/9, остаточных степеней свободы 2. Обычная оценка дисперсии коэффициента равна (SSR/2)/9=5/162.
HC0 даёт Σxᵢ²ûᵢ²/(Σxᵢ²)²=56/2187=168/6561. Диагональные элементы H равны 1/9,4/9,4/9. После замены ûᵢ² на ûᵢ²/(1−hᵢᵢ)² получаем HC3-дисперсию 883/10800=2649/32400. Корни совпадают с ключом.
Две GLS-оценки
Для весов 1/(3xᵢ−2) диагональ пропорциональной ковариации равна (1,4,4). Взвешенные суммы дают β̂=(1+1+1,5)/(1+1+1)=7/6.
Для второй заданной матрицы Ω используйте β̂=(xᵀΩ⁻¹x)⁻¹xᵀΩ⁻¹y=239/169≈1,414201. Это редакционный ответ к незаполненному пункту.
Что сравнивается
HC0 и HC3 меняют оценку неопределённости при прежнем МНК-коэффициенте. GLS меняет сам коэффициент, используя заданную ковариационную структуру. На трёх наблюдениях робастная формула сама по себе не гарантирует точную конечновыборочную калибровку теста.
Борис Демешев и участники · Исходные данные и частичный ключ · CC BY 4.0. Первые ответы проверены; последний вычислен редакцией.