Вопрос источника
Пусть индикатор воздействия wᵢ независим от потенциальных исходов yᵢ(0) и yᵢ(1). Верно ли, что ATE=E[yᵢ(1)−yᵢ(0)] можно записать как E(yᵢ|wᵢ=1)−E(yᵢ|wᵢ=0)?
Ответ сборника
Да, эти выражения равны в заданной модели независимого назначения.
Редакционное раскрытие предпосылок
Наблюдаемый исход должен соответствовать назначенному состоянию: y=w y(1)+(1−w)y(0). Оба назначения имеют положительную вероятность, 0<P(w=1)<1, а нужные ожидания существуют. Эти условия делают условные средние определёнными и связывают их с потенциальными исходами.
Доказательство
При w=1 наблюдается y(1), поэтому E(y|w=1)=E[y(1)|w=1]. Независимость назначения даёт E[y(1)|w=1]=E[y(1)]. Аналогично E(y|w=0)=E[y(0)]. Вычитание возвращает E[y(1)]−E[y(0)]=ATE.
Чего равенство не обещает
Оно относится к популяционным ожиданиям. В конечной выборке разность средних случайна и не обязана точно совпадать с ATE. Для оценки её неопределённости нужен соответствующий выборочный анализ.
Если воздействие выбирается на основании потенциальных исходов или их предикторов, исходная независимость может нарушаться. Тогда разность наблюдаемых групп может отражать и эффект воздействия, и различия отбора. Само название «эксперимент» не заменяет проверку механизма назначения.
Задание не вводит дополнительные переменные контроля или условную независимость при заданных признаках. Эти более сложные случаи не подменяют простой ответ данного источника.
Борис Демешев и участники · Исходный вопрос и равенство · CC BY 4.0. Ответ сохранён; предпосылки и доказательство добавлены.