Условия источника
Симметричная положительно определённая A имеет два наибольших собственных числа 5 и 2. Найдите дифференциалы vᵀAv и отношения Релея, максимум на единичной сфере и следующий максимум в направлении, ортогональном первому. Во второй задаче X=UDVᵀ, первые сингулярные значения 5 и 3; найдите Xv₁,Xv₂ и два аналогичных максимума нормы Xw.
Ключи не заполнены; далее — редакционное решение.
Дифференциалы
d(vᵀAv)=2vᵀAdv. Для v≠0 дифференциал отношения q(v)=(vᵀAv)/(vᵀv) равен 2[(vᵀv)vᵀA−(vᵀAv)vᵀ]dv/(vᵀv)².
Два максимума для A
Разложите единичный v по ортонормированному собственному базису: vᵀAv=Σλⱼcⱼ², Σcⱼ²=1. Это взвешенное среднее собственных чисел, поэтому максимум 5 достигается на единичном собственном векторе первого направления.
При ортогональности выбранному первому направлению его коэффициент исчезает. Поскольку два наибольших собственных числа заданы как 5>2, следующий максимум равен 2 на втором собственном направлении.
Два максимума для X
Из SVD непосредственно Xv₁=5u₁, Xv₂=3u₂. Для единичного w квадрат нормы ‖Xw‖²=wᵀXᵀXw имеет максимум 25, значит сама норма максимальна и равна 5. При w, ортогональном v₁, следующий максимум равен 3.
Векторы могут быть выбраны с противоположными знаками без изменения норм. Если максимальные значения кратны, оптимальное направление не единственно и ограничение на одно направление не обязательно удаляет всё максимальное собственное пространство; в данных задачи первые два значения различны.
Борис Демешев и участники · Две вариационные задачи · CC BY 4.0. Задания объединены; решение редакции.