(Σxy)²≤(Σx²)(Σy²): 3600≤2000 — невозможно
Исходное условие
Мишель собрала 20 наблюдений. Указано Σy=10, Σx=0, Σx²=40, Σy²=50, Σxy=60. Требуется оценить парную регрессию, затем найти условные ожидания yᵢ, β̂ⱼ, ûᵢ, ŷᵢ при E(u|X)=0 и условные дисперсии при Var(u|X)=σ²I.
В источнике решение отсутствует. В приведённых числах есть противоречие.
Редакционная проверка существования выборки
Для действительных векторов обязательно (Σxy)²≤(Σx²)(Σy²). Здесь 60²=3600, а 40·50=2000. Неравенство нарушено, поэтому такой пары векторов не существует.
Формальная подстановка дала бы β̂₁=0,5 и β̂₂=1,5. Но TSS=50−20·0,5²=45, объяснённая сумма β̂₂Σxy=90, откуда SSR=−45. Отрицательная сумма квадратов — диагностический сигнал, а не допустимое качество модели. Числа источника здесь не исправляются догадкой.
Общая часть задания для согласованных данных
В корректной модели E(yᵢ|X)=β₁+β₂xᵢ, E(β̂ⱼ|X)=βⱼ, E(ûᵢ|X)=0, E(ŷᵢ|X)=β₁+β₂xᵢ.
При независимых гомоскедастичных ошибках Var(yᵢ|X)=σ²; Var[yᵢ(xᵢ−x̄)|X]=σ²(xᵢ−x̄)²; Var[Σyᵢ(xᵢ−x̄)|X]=σ²Σ(xᵢ−x̄)²; Var(β̂₂|X)=σ²/Σ(xᵢ−x̄)².
Эти формулы отвечают на символическую часть, но не делают противоречивые сводные суммы реальными. Для численного решения требуется уточнить хотя бы одно исходное значение.
Борис Демешев и участники · Исходные суммы · CC BY 4.0. Несогласованность выявлена редакцией; исходные данные не подменены.