r_xy=√21/5; r_xz=√30/10; r_yz=√70/10
Условие
Наклон парной регрессии y на x равен 1,4, обратной регрессии x на y — 0,6. Известно y=x+z. Найдите все три корреляции и отношения выборочных дисперсий.
Ответы источника и выявленное расхождение
Источник даёт rxy=√0,84, ryz=√70/10, отношения Var(x)/Var(y)=3/7, Var(z)/Var(y)=8/35 и Var(x)/Var(z)=15/8. Эти значения согласованы. Для rxz в ключе напечатан минус перед √30/10; для указанного y=x+z правильный знак положительный.
Редакционный расчёт
Пусть Var(x)=v>0. Из первой регрессии Cov(x,y)=1,4v, из второй Var(y)=Cov(x,y)/0,6=(7/3)v. Тогда Var(z)=Var(y−x)=(7/3+1−2,8)v=(8/15)v.
Ковариации: Cov(x,z)=Cov(x,y)−Var(x)=0,4v>0; Cov(y,z)=Var(y)−Cov(x,y)=(14/15)v. Поэтому:
rxy=√21/5; rxz=√30/10; ryz=√70/10. Отношение трёх дисперсий можно записать Var(x):Var(y):Var(z)=15:35:8.
Проверка знаков
Оба исходных наклона положительны, следовательно, rxy положителен. Положительная Cov(x,z)=0,4v независимо устанавливает знак rxz. Знак нельзя восстановить только по квадрату корреляции; требуется учитывать исходную связь переменных.
Используются регрессии с константой или предварительно центрированные переменные. Один и тот же делитель в выборочных ковариациях сокращается в отношениях, поэтому выбор n или n−1 не меняет результата.
Борис Демешев и участники · Исходное задание и ключ · CC BY 4.0. Ошибочный знак исправлен явно; расчёт редакционный.