Экзаменационное условие
Полугодовой ETS(ANA): u_t~N(0,16), s_t=s_{t−2}+0,1u_t, l_t=l_{t−1}+0,5u_t, y_t=l_{t−1}+s_{t−2}+u_t. Известны l0=20, s0=5, s−1=−5. Найдите точечные прогнозы y100,y101. Затем y1 пропущено, но y2=30; найдите лучший прогноз y1.
Ключ источника
ŷ100=25, ŷ101=15. Для пропуска ключ пишет y1=15+u1, y2=25+0,5u1+u2 и формулу условного среднего.
Почему дальний прогноз не меняется
При нулевых средних будущих инноваций уровень в ожидании остаётся 20, а сезонные компоненты чередуются между 5 и −5. Чётный индекс получает сезонность 5, нечётный −5.
Восстановление y1
Var(y1)=16. Для y2: Var=0,25·16+16=20. Cov(y1,y2)=Cov(u1,0,5u1+u2)=8. Поэтому
E(y1|y2=30)=15+(8/20)(30−25)=17.
Совместная нормальность делает линейный прогноз точным условным ожиданием, а не только лучшей линейной аппроксимацией. Условная дисперсия y1 равна 16−8²/20=12,8.
Экзамен tssp_exams 2025–2026b · условие · ключ · CC0 1.0. Число 17 и условная дисперсия доведены редакцией.