β̂=(XᵀX)⁻¹Xᵀy=(2,2,1)ᵀ; ŷ=(2,2,2,4,5)ᵀ
Условие
Модель y=β₁+β₂x+β₃z+u. Пять строк X: (1,0,0), (1,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1); y=(1,2,3,4,5)ᵀ. Ошибки независимы, нормальны, E(u|X)=0, Var(u|X)=σ²I. Найдите n, число регрессоров, TSS, коэффициенты, прогнозы, SSR и R².
В условии даны XᵀX=[[5,2,1],[2,2,1],[1,1,1]] и обратная матрица [[1/3,−1/3,0],[−1/3,4/3,−1],[0,−1,2]].
Ключ источника
n=5, k=3, TSS=10, β̂=(2,2,1)ᵀ, SSR=2, R²=0,8. Прогноз задаётся формулой ŷ=Xβ̂.
Редакционная проверка
Xᵀy=(15,9,5)ᵀ. Умножение на указанную обратную матрицу даёт (2,2,1)ᵀ. Прогнозы равны (2,2,2,4,5)ᵀ, остатки — (−1,0,1,0,0)ᵀ. Их квадраты суммируются в 2.
Средний отклик равен 3. Поэтому TSS=4+1+0+1+4=10. Объяснённая сумма равна 8, и R²=1−2/10=0,8. Первые три наблюдения не различаются по признакам и получают общий прогноз, равный их среднему.
Интерпретация
Значение 0,8 означает, что на этих пяти наблюдениях объяснено 80% центрированной суммы квадратов отклика. В кратком ключе оно названо высоким; само число не доказывает причинность, точность прогноза вне выборки или устойчивость модели. Статистические предпосылки нужны для дальнейшего вывода о параметрах, но не для описанной арифметики МНК.
Борис Демешев и участники · Исходный пример и ключ · CC BY 4.0. Числа сохранены; прогнозы и интерпретация развёрнуты.