Условие
Никодим измерил длину aᵢ и вес bᵢ у 100 морских ежей. Векторы yᵢ=(aᵢ,bᵢ)ᵀ независимы и имеют N₂(μ,C). Выпишите логарифмическое правдоподобие и дифференциалы: при известной C=[[9,4],[4,6]], при известной μ=(10,5)ᵀ и при обоих неизвестных параметрах.
Состояние ключа
Источник приводит только μ̂=Σyᵢ/n; остальные пункты не заполнены. Далее дан редакционный вывод, а не приписанный источнику полный ответ.
Правдоподобие
Пусть Sμ=Σ(yᵢ−μ)(yᵢ−μ)ᵀ. Тогда ℓ=−nlog(2π)−(n/2)logdetC−(1/2)tr(C⁻¹Sμ), n=100, C положительно определена.
Известная ковариация
C⁻¹=(1/38)[[6,−4],[−4,9]]. Дифференциал по μ равен n(ȳ−μ)ᵀC⁻¹dμ. Уравнение максимума даёт μ̂=ȳ — совпадает с кратким ответом сборника.
Известное среднее
При μ=(10,5)ᵀ дифференциал по C: dℓ=−(n/2)tr(C⁻¹dC)+(1/2)tr(C⁻¹SμC⁻¹dC). Поэтому Ĉ=Sμ/n, если эта матрица положительно определена.
Оба параметра неизвестны
Полный дифференциал — сумма двух приведённых частей. Максимум достигается в μ̂=ȳ, Ĉ=(1/n)Σ(yᵢ−ȳ)(yᵢ−ȳ)ᵀ. Делитель n соответствует максимальному правдоподобию; замена на n−1 даёт другую оценку.
Если все точки лежат на одной прямой, выборочная ковариация вырождена и внутреннего максимума среди положительно определённых C в таком виде нет. В обычной невырожденной нормальной модели с 100 наблюдениями это исключительный случай, но условие обратимости нельзя просто забыть.
Борис Демешев и участники · Условие и частичный ключ · CC BY 4.0. Незаполненные пункты решены редакцией.