Условие
Независимые Y₁ и Y₂ распределены по Пуассону со средними eᵃ и eᵃ⁺ᵇ. Найдите оценки максимального правдоподобия для наблюдений y₁=7, y₂=3 и в общем виде.
Источник приводит â=lnY₁ и b̂=lnY₂−lnY₁. Эти формулы верны для положительных наблюдений. Ниже дан вывод и отдельно отмечены нулевые случаи.
Переход к двум интенсивностям
Положим λ₁=eᵃ, λ₂=eᵃ⁺ᵇ. При конечных a,b обе интенсивности строго положительны, и любая положительная пара соответствует единственным a=lnλ₁, b=lnλ₂−lnλ₁.
Логарифм правдоподобия, без постоянных, равен y₁lnλ₁−λ₁+y₂lnλ₂−λ₂. При y₁,y₂>0 каждое слагаемое строго максимально в λᵢ=yᵢ.
Следовательно, â=lny₁, b̂=ln(y₂/y₁). Для данных задачи получаем â=ln7≈1,945910 и b̂=ln(3/7)≈−0,847298.
Проверка в исходных координатах
Логарифм правдоподобия равен (y₁+y₂)a+y₂b−eᵃ−eᵃ⁺ᵇ. Уравнение по b даёт eᵃ⁺ᵇ=y₂; подстановка в уравнение по a даёт eᵃ=y₁. Это возвращает те же оценки.
Нулевой счётчик
Если y₁=0, максимум по λ₁ достигался бы в нуле, но λ₁=eᵃ не равна нулю при конечном a. Правдоподобие имеет супремум при λ₁→0+, а конечной оценки a нет. Аналогичная проблема возникает для λ₂ при y₂=0.
При y₁=0,y₂>0 можно взять a→−∞ и b→+∞ так, чтобы a+b→lny₂. При y₁>0,y₂=0 имеем a→lny₁, a+b→−∞. При обоих нулях конечной максимизирующей пары также нет.
Запись ln0 не является конечным числовым ответом. Граничные значения интенсивностей можно включить в расширенную модель, но это уже не конечные параметры a и b исходной параметризации.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 5.2 · CC0 1.0. Формулы источника; область применимости дополнена.