Условие
Независимые Xᵢ принимают 0, 1, 2 с вероятностями 1,3−3θ, 2θ−0,2 и θ−0,1. Найдите оценки максимального правдоподобия и метода моментов для выборки (0,2) и общего случая с частотами N₀,N₁,N₂. Затем найдите апостериорное распределение θ при равномерном априорном на допустимом интервале и данных (0,2).
В источнике решения нет. Все выводы ниже редакционные.
Допустимая область и замена параметра
Неотрицательность вероятностей требует 1/10≤θ≤13/30. Положим p=3(θ−1/10). Тогда p∈[0,1], а вероятности исходов равны 1−p, 2p/3 и p/3.
Для оценки p важно число ненулевых исходов, N₁+N₂: соотношение единиц и двоек среди них уже фиксировано моделью.
Максимальное правдоподобие
Зависящая от p часть правдоподобия равна pN₁+N₂(1−p)N₀. Поэтому θ̂ML=1/10+(N₁+N₂)/(3n).
Для (0,2) один из двух исходов ненулевой, откуда θ̂ML=4/15≈0,266667.
Метод моментов
Среднее X равно (2θ−0,2)+2(θ−0,1)=4θ−0,4. Приравнивая его X̄, получаем θ̂MM=1/10+X̄/4. Для (0,2) ответ 0,35.
Для произвольной выборки формальная оценка моментов может выйти за допустимый интервал: например, при всех двойках она равна 0,6. Это ограничение данного способа, а не разрешение отрицательных вероятностей. Принудительное ограничение оценки интервалом было бы отдельной модификацией метода.
Апостериорное распределение
Равномерный априорный θ превращается в равномерный p. Наблюдения (0,2) дают один нулевой и один ненулевой исход, поэтому p | данные ∼ Beta(2,2) с плотностью 6p(1−p).
При обратной замене θ=1/10+p/3 якобиан равен 3. Апостериорная плотность θ равна 18p(1−p), где p=3(θ−1/10), на [1/10;13/30], и нулю вне этого интервала. Нормировка сохраняется заменой переменной; апостериорное среднее и мода здесь равны 4/15.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 5.1 · CC0 1.0. Условие источника; решение редакции.