Условие
Два одинаковых слитка имеют неизвестную массу m каждый. Взвешивание одного даёт Y₁=m+u₁, двух — Y₂=2m+u₂. Наблюдаются y₁=0,9 и y₂=2,3. Оцените m и параметр погрешности b методом максимального правдоподобия при независимых ошибках N(0,b), затем U[−b;b]. Источник не содержит решения; далее — редакционный расчёт.
Нормальные ошибки
Здесь b обозначает дисперсию, b>0. Для фиксированного b максимум правдоподобия достигается при минимуме Q(m)=(0,9−m)²+(2,3−2m)².
Производная даёт m̂=(y₁+2y₂)/5=1,1. Остатки равны −0,2 и 0,1, сумма квадратов — 0,05. Максимизация по дисперсии даёт b̂=Q(m̂)/2=0,025.
Это оценка дисперсии максимального правдоподобия с делителем 2, а не несмещённая оценка с поправкой на число оценённых параметров.
Равномерные ошибки
Теперь b — полуширина носителя, не дисперсия. Правдоподобие равно 1/(4b²), если обе ошибки по модулю не превышают b, и нулю иначе.
Нужно минимизировать b(m)=max{|0,9−m|,|2,3−2m|}. В оптимуме два остатка имеют противоположные знаки и одинаковый модуль: m−0,9=2,3−2m. Отсюда:
m̂=16/15≈1,066667; b̂=1/6≈0,166667.
Проверка: 0,9−16/15=−1/6, 2,3−32/15=1/6. Уменьшить b невозможно: интервалы допустимых m, [0,9−b;0,9+b] и [(2,3−b)/2;(2,3+b)/2], перестанут пересекаться.
Почему ответы различаются
Нормальная модель штрафует сумму квадратов остатков, равномерная — минимальную ширину интервала, способного вместить оба остатка. Разные модели ошибок задают разные функции правдоподобия. Значения b̂ также нельзя напрямую сравнивать: в первом случае b — дисперсия, во втором — граница абсолютной ошибки.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 4.4 · CC0 1.0. Условие источника; решение и точные проверки редакции.