Связанные задания
Найдите плотность квадрата стандартной нормальной величины; распределение, среднее и дисперсию суммы d независимых таких квадратов; закон суммы независимых χ²ₐ и χ²ᵦ; третий момент χ²ₖ. Здесь объединены перекрывающиеся упражнения 3.4, 3.5 и 3.10, а не созданы три повторяющиеся страницы.
Один квадрат
Пусть Z∼N(0,1), Q=Z². При q>0 значению q соответствуют два прообраза ±√q. Суммирование вкладов их плотностей даёт:
fQ(q) = exp(−q/2)/√(2πq), q>0.
При q<0 плотность нулевая. Функция распределения равна 2Φ(√q)−1 на q≥0. Из нормальных моментов E(Z²)=1, E(Z⁴)=3 следует E(Q)=1, Var(Q)=2.
Сумма d независимых квадратов
По определению Q=Z₁²+…+Zd² имеет распределение χ²d. Ожидания и дисперсии независимых слагаемых складываются: E(Q)=d, Var(Q)=2d.
Плотность на q>0 имеет вид qd/2−1exp(−q/2)/[2d/2Γ(d/2)]. При независимых χ²ₐ и χ²ᵦ их сумма распределена как χ²a+b. Независимость здесь обязательна; одно совпадение отдельных законов её не заменяет.
Третий момент
Интегрируя q³ с гамма-плотностью, получаем E(Q³)=8Γ(k/2+3)/Γ(k/2)=k(k+2)(k+4). Это начальный третий момент, не третий центральный.
Проверка для k=1 возвращает 1·3·5=15, то есть шестой момент стандартной нормальной величины. Для k=2 ответ равен 48, что согласуется с экспоненциальным распределением среднего 2.
Что взято из источника
Средние, дисперсии и правило суммы совпадают с указанными ответами сборника. Полная плотность и вычисление третьего момента развёрнуты редакцией из исходных подсказок и условий.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 3.4–3.5, 3.10 · CC0 1.0. Задачи объединены; вывод дополнен.