Условие
Найдите минимум f(a,b,c) = (6−a)² + (3−b)² + (7−b)² + (8−c)² + (9−c)² + (10−c)² + 11². Проекцией какого вектора и на какое пространство является (a*,b*,b*,c*,c*,c*,0)?
Источник указывает a*=6, b*=5, c*=9 и подпространство векторов заданного вида. Ниже вычислены сам минимум и проверки проекции.
Три независимые минимизации
Слагаемые с разными параметрами разделены. Первый квадрат минимален при a=6. Два квадрата с b можно переписать как 2(b−5)²+8, поэтому b=5. Три квадрата с c равны 3(c−9)²+2, поэтому c=9.
Таким образом, f(a,b,c) = (a−6)² + 2(b−5)² + 3(c−9)² + 131. Минимум равен 131, точка минимума единственна.
Проекция в семимерном пространстве
Исходный вектор z=(6,3,7,8,9,10,11). Подпространство V состоит из всех (a,b,b,c,c,c,0). Значение f — квадрат евклидова расстояния от z до такого вектора.
Ближайшая точка ẑ=(6,5,5,9,9,9,0). Остаток z−ẑ=(0,−2,2,−1,0,1,11). Его скалярное произведение с любым (a,b,b,c,c,c,0) равно −2b+2b−c+c=0. Значит, остаток ортогонален V, что и характеризует ортогональную проекцию.
Проверка длинами
Квадрат длины z равен 460, квадрат длины ẑ — 329. Разность 460−329=131 совпадает с квадратом длины остатка и найденным минимумом.
Последняя координата 11 не участвует в выборе параметров, поскольку все точки V имеют на этой позиции ноль. Она даёт неизбежный вклад 121 в минимальную ошибку. Забыть постоянное слагаемое при вычислении самой минимальной величины нельзя.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 3.2 · CC0 1.0. Ответ источника; вычисления и проверки дополнены.