Условие
Детерминированно преобразуйте X, равномерную на [0; 1], в: величину Бернулли с вероятностью единицы 0,7; величину с плотностью 2z на [0; 1]; две независимые величины Бернулли с тем же параметром; две независимые равномерные величины. В источнике решения не приведены; далее — редакционные конструкции.
Порог и обратная функция распределения
Для первого задания достаточно Y = 1 при X < 0,7 и Y = 0 иначе. Длины двух частей отрезка равны нужным вероятностям.
Во втором случае возьмём Z = √X. Тогда P(Z ≤ z) = P(X ≤ z²) = z² при 0 ≤ z ≤ 1. Производная этой функции равна 2z, как требуется.
Пара независимых величин Бернулли
Разобьём отрезок на четыре части длиной 0,49; 0,21; 0,21; 0,09. На них присвоим паре соответственно значения (1,1), (1,0), (0,1), (0,0).
Каждая координата принимает единицу с вероятностью 0,49 + 0,21 = 0,7. Все четыре совместные вероятности равны произведениям отдельных: 0,7²; 0,7·0,3; 0,3·0,7; 0,3². Поэтому координаты независимы, несмотря на то что обе получены из одного X.
Две непрерывные равномерные величины
Запишем X в двоичной форме: X = 0,b₁b₂b₃… . Двоично-рациональным числам выберем запись, оканчивающуюся нулями; множество неоднозначных случаев имеет вероятность ноль.
Положим U = 0,b₁b₃b₅… и V = 0,b₂b₄b₆…. У равномерной X любые фиксированные первые r двоичных разрядов образуют равновероятные двоичные слова. Поэтому разряды независимы и каждый равновероятно равен 0 или 1.
Нечётная и чётная подпоследовательности используют непересекающиеся разряды. Вероятности попадания U и V в двоичные интервалы факторизуются; это устанавливает равномерность и независимость U и V.
Математическая и компьютерная модели
Последняя конструкция использует бесконечную точность исходной величины. Конечное машинное число содержит конечное число битов и не превращается этим приёмом в две точно непрерывные независимые величины. Это ограничение вычислительной реализации, а не опровержение математической конструкции.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 2.3 · CC0 1.0. Условие источника; решение редакции.