K=#42 ~ Binom(5,1/2); X̄=24+(18/5)K
Условие
Из множества {24, 42} случайно выбирают три числа с возможностью повторений. Требуется явно найти распределения выборочного среднего, медианы, моды, минимума и максимума.
В источнике решения нет. Далее используется модель трёх независимых равновероятных выборов. Обозначим через K число появлений 42. Тогда K ∼ Bin(3, 1/2); вероятности K = 0, 1, 2, 3 равны 1/8, 3/8, 3/8, 1/8.
Все характеристики через K
| K | Вероятность | Среднее | Медиана и мода | Минимум | Максимум |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1/8 | 24 | 24 | 24 | 24 |
| 1 | 3/8 | 30 | 24 | 24 | 42 |
| 2 | 3/8 | 36 | 42 | 24 | 42 |
| 3 | 1/8 | 42 | 42 | 42 | 42 |
Среднее равно 24 + 6K: замена одного значения 24 на 42 увеличивает сумму на 18, а среднее трёх — на 6.
Распределение среднего
Оно принимает 24, 30, 36 и 42 с вероятностями 1/8, 3/8, 3/8 и 1/8 соответственно. Проверка ожидания даёт 33 — то же среднее, что у одного выбора из {24, 42}.
Медиана и мода
В выборке из трёх значений двух возможных типов всегда есть большинство. Его значение одновременно является средней позицией отсортированного ряда и единственной модой.
При K ≤ 1 обе характеристики равны 24, при K ≥ 2 — 42. Поэтому каждая принимает 24 и 42 с вероятностями 1/2 и 1/2.
Минимум и максимум
Минимум равен 42 только тогда, когда все три выбора дали 42. Значит, P(min = 42) = 1/8, а P(min = 24) = 7/8.
Максимум равен 24 только при трёх значениях 24. Следовательно, P(max = 24) = 1/8, а P(max = 42) = 7/8.
Одинаковые распределения медианы и моды в этой задаче не являются универсальным свойством выборочных характеристик. Здесь оно обусловлено нечётным объёмом три и наличием всего двух возможных значений.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.13 · CC0 1.0. Условие источника; таблица и решение редакции.