Закон больших чисел относится к усредняемой последовательности. Он не позволяет заменять каждый отдельный элемент выборки его средним. Последний пункт этой задачи особенно хорошо показывает границу такого рассуждения.
Условие
Пусть X₁, X₂,… — одна последовательность независимых одинаково распределённых U[0; 1] величин, а X̄ₙ — среднее первых n. Найдите пределы по вероятности девяти выражений ниже. В источнике решение не заполнено; далее — редакционный разбор.
1–2. Среднее и непрерывная функция среднего
По закону больших чисел X̄ₙ → 1/2. Функция 1/(1 + x) непрерывна в 1/2, поэтому:
1/(1 + X̄ₙ) → 2/3.
Предельное значение функции вычисляется после нахождения предела среднего, а не через отдельные средние 1/(1 + Xᵢ).
3–4. Средний логарифм и геометрическое среднее
Для равномерной величины ∫₀¹ ln x dx = −1, а ∫₀¹ |ln x| dx = 1. Логарифмы интегрируемы, поэтому закон больших чисел применим:
(1/n)Σi=1ⁿ ln Xᵢ → −1.
Геометрическое среднее равно экспоненте этого выражения, следовательно:
(X₁ · … · Xₙ)1/n → e−1.
Вероятность точного нуля среди конечного или счётного числа Xᵢ равна нулю, поэтому логарифмическое представление корректно почти наверное.
5. Само произведение
Поскольку средний логарифм стремится к отрицательной константе, с вероятностью, стремящейся к единице, сумма логарифмов меньше −n/2. Тогда произведение не больше e−n/2. Значит:
X₁ · … · Xₙ → 0.
Предел произведения отличается от предела его корня n-й степени. Нельзя возвести e−1 в «бесконечную степень» как формальную операцию без контроля последовательности; приведённая оценка даёт строгий аргумент.
6–7. Максимум и минимум
При 0 < ε < 1 вероятность максимума не больше 1 − ε равна (1 − ε)ⁿ, которая стремится к нулю. Аналогично вероятность минимума больше ε равна (1 − ε)ⁿ.
max(X₁,…,Xₙ) → 1;
min(X₁,…,Xₙ) → 0.
Здесь удобно использовать точные вероятности, а не закон больших чисел для экстремумов.
8. Средний квадрат отклонений
Тождество (1/n)Σ(Xᵢ − X̄ₙ)² = (1/n)ΣXᵢ² − X̄ₙ² сводит вопрос к двум средним. Поскольку E(X²) = 1/3:
(1/n)Σ(Xᵢ − X̄ₙ)² → 1/3 − 1/4 = 1/12.
Это предел эмпирической дисперсии с делителем n. Замена делителя на n − 1 при n > 1 не меняет предел, поскольку n/(n − 1) → 1.
9. Первый элемент, делённый на среднее
X₁ не меняется с ростом n и не усредняется в числителе. Только знаменатель стремится к 1/2. Поэтому:
X₁/X̄ₙ → 2X₁ по вероятности.
Предел — случайная величина, а не число 1. Подстановка E(X₁) = 1/2 вместо самого X₁ незаконна. Сходимость по вероятности вполне может происходить к непостоянной случайной величине, определённой на том же вероятностном пространстве.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 21.1 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.