Условное среднее после отбора интервала — интеграл с нормированной на этом интервале плотностью. Для стандартного нормального распределения он упрощается до значений плотности на двух концах.
Условие
Пусть X ∼ N(0, 1), a < b. Докажите равенство E(X | a ≤ X ≤ b) = [φ(a) − φ(b)]/[Φ(b) − Φ(a)], где φ и Φ — стандартные нормальные плотность и функция распределения. Сохраняется ли такая формула для другого распределения?
Условная плотность
Вероятность попадания в интервал равна Z = Φ(b) − Φ(a) > 0. Поэтому внутри [a; b] условная плотность равна φ(x)/Z, а вне его — нулю.
Следовательно:
E(X | a ≤ X ≤ b) = [∫ab xφ(x) dx]/[Φ(b) − Φ(a)].
Деление на Z необходимо: ненормированный интеграл даёт только вклад выбранного интервала в безусловное среднее.
Особенность нормальной плотности
Для φ(x) = exp(−x²/2)/√(2π) выполняется φ′(x) = −xφ(x). Значит, первообразная xφ(x) равна −φ(x):
∫ab xφ(x) dx = φ(a) − φ(b).
Подстановка доказывает требуемую формулу. Именно дифференциальное тождество для нормальной плотности, указанное в подсказке источника, делает ответ таким коротким.
Проверки
Для симметричного интервала [−b; b] числитель нулевой, поэтому условное среднее равно 0. Если b → ∞, получаем E(X | X ≥ a) = φ(a)/[1 − Φ(a)], поскольку φ(b) → 0 и Φ(b) → 1.
При конечном a < b среднее лежит между a и b: условная величина не выходит за этот интервал. Такой контроль помогает заметить перепутанный знак числителя.
Контрпример для другой плотности
Для U, равномерной на [0; 1], возьмём a = 1/4, b = 3/4. На обоих концах плотность равна 1. Если механически заменить φ и Φ на плотность и функцию распределения U, числитель станет нулевым.
Но условное распределение U на [1/4; 3/4] равномерно, и его среднее равно 1/2. Значит, формула с разностью значений плотности не универсальна. Универсальным остаётся нормированный интеграл x f(x), а его упрощение зависит от конкретного распределения.
Условные моменты другого распределения · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 18.8 · CC BY 4.0. Адаптация; доказательство и контрпример развёрнуты.