Модуль отражает отрицательную половину симметричного распределения на положительную. Вероятностная масса не исчезает, а плотность на положительной полуоси удваивается.
если X~N(0,σ²), f_|X|(y)=√2/(σ√π)e^(−y²/(2σ²)), y≥0
Условие
X имеет нормальное распределение N(0, σ²), где σ > 0. Найдите E(|X|) и плотность A = |X|. В источнике указана связь плотностей; ниже дополнены функция распределения и вычисление среднего.
Функция распределения
Для t ≥ 0 событие A ≤ t означает −t ≤ X ≤ t. Если Φ — функция распределения стандартной нормальной величины, то:
FA(t) = Φ(t/σ) − Φ(−t/σ) = 2Φ(t/σ) − 1.
При t < 0 функция равна 0. Равенство Φ(−z) = 1 − Φ(z) используется благодаря симметрии нормального распределения относительно нуля.
Плотность модуля
Для каждого t > 0 модуль t получается из X = t и X = −t. Эти два вклада складываются:
fA(t) = 2fX(t) = [√(2/π)/σ] exp[−t²/(2σ²)], t > 0.
Слева от нуля плотность нулевая. Нормировка следует из того, что положительная половина исходной симметричной плотности имеет интеграл 1/2.
Математическое ожидание
Интегрируем t с новой плотностью. Подстановка u = t²/(2σ²), t dt = σ² du даёт:
E(A) = [√(2/π)/σ]∫₀∞ t e−t²/(2σ²)dt = σ√(2/π).
При σ = 1 среднее модуля примерно 0,797885. Оно положительно, хотя E(X) = 0: положительные и отрицательные значения больше не компенсируют друг друга.
Проверка вторым моментом
Редакционное дополнение: A² = X², поэтому E(A²) = σ². Следовательно, Var(A) = σ²(1 − 2/π).
У A нет атома в нуле: событие A = 0 эквивалентно X = 0 и имеет вероятность 0. Это отличает модуль от положительной части max(X, 0), которая переносит всю отрицательную половину распределения в одну точку.
Модуль равномерной величины · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 18.4 · CC BY 4.0. Адаптация; среднее и проверки дополнены.