Для двух индикаторов заданные вероятности и корреляция определяют всю совместную таблицу. Но не каждое число от −1 до 1 допустимо при фиксированных, разных вероятностях событий.
Cov(I₁,I₂)=P(R₁∩R₂)−P(R₁)P(R₂)
Условие
Вероятность дождя в субботу равна 0,5, в воскресенье — 0,3. Корреляция индикаторов дождя равна r. Найдите вероятность отсутствия дождя в оба дня. Это абстрактная учебная модель, не прогноз погоды.
Пусть A и B — индикаторы субботнего и воскресного дождя. В исходном сборнике решение не заполнено; далее — редакционный вывод.
От корреляции к совместной вероятности
Для индикаторов E(A) = 0,5, E(B) = 0,3, Var(A) = 0,25, Var(B) = 0,21. Следовательно:
Cov(A, B) = r√(0,25 · 0,21) = r√21/20.
Произведение AB равно единице только при дожде в оба дня. Поэтому E(AB) — вероятность двух дождливых дней:
P(оба дождливые) = 0,15 + r√21/20.
Вероятность сухих выходных
Переходим к дополнению объединения дождей:
P(оба сухие) = 1 − 0,5 − 0,3 + P(оба дождливые) = 0,35 + r√21/20.
При r = 0 получаем 0,35 = 0,5 · 0,7. Для двух индикаторов с заданными маргинальными вероятностями нулевая ковариация действительно означает независимость, поскольку уже фиксирует все четыре клетки таблицы.
Допустимые значения корреляции
Положим c = r√21/20. Четыре совместные вероятности равны:
| Сценарий | Вероятность |
|---|---|
| Дождь в оба дня | 0,15 + c |
| Только в субботу | 0,35 − c |
| Только в воскресенье | 0,15 − c |
| Оба дня сухие | 0,35 + c |
Все клетки должны быть неотрицательны. Самые сильные ограничения дают −0,15 ≤ c ≤ 0,15, то есть:
−3/√21 ≤ r ≤ 3/√21.
Поэтому вероятность сухих выходных лежит между 0,2 и 0,5. Подставлять r = 1 в формулу при этих маргинальных вероятностях нельзя: получится невозможная совместная таблица.
Смысл знака
Положительная корреляция увеличивает вероятность одинаковых состояний: двух дождливых либо двух сухих дней. Отрицательная увеличивает вероятность дождя только в один из дней. Это видно непосредственно по знакам c в таблице.
Границы пересечения событий · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 16.6 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение и диапазон корреляции добавлены.