Совместная таблица хранит больше информации, чем две отдельные таблицы. Суммы строк и столбцов дают маргинальные распределения, а произведения координат внутри клеток позволяют вычислить ковариацию.
E[XY]=ΣᵢΣⱼxᵢyⱼpᵢⱼ; Cov=E[XY]−E[X]E[Y]
Условие
| Y / X | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
| 1 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
Найдите ожидания, медианы, дисперсии, Cov(X, Y), Corr(X, Y), Cov(X, Y | X ≥ 0), а также совместную таблицу (X, S) и распределение S = X + Y. В источнике решение не заполнено; далее — редакционный расчёт.
Отдельные распределения и медианы
Суммы столбцов дают P(X = −1) = 0,3, P(X = 0) = 0,3, P(X = 1) = 0,4. Суммы строк дают P(Y = 0) = 0,6, P(Y = 1) = 0,4.
E(X) = 0,1; E(Y) = 0,4. Для X вероятность значений строго ниже 0 равна 0,3, не выше 0 — 0,6, поэтому медиана равна 0. Для Y медиана также 0. В обоих случаях она единственна.
Дисперсии и ковариация
E(X²) = 0,7; Var(X) = 0,7 − 0,1² = 0,69.
Так как Y — индикатор, Var(Y) = 0,4 · 0,6 = 0,24. Произведение XY ненулевое только в двух клетках строки Y = 1:
E(XY) = (−1) · 0,2 + 1 · 0,1 = −0,1.
Отсюда Cov(X, Y) = −0,1 − 0,1 · 0,4 = −0,14 и Corr(X, Y) = −7/√414 ≈ −0,344031.
Условная ковариация при X ≥ 0
Вероятность условия равна 0,7. Удаляем столбец X = −1 и делим четыре оставшиеся вероятности на 0,7. Получаем E(X | X ≥ 0) = 4/7, E(Y | X ≥ 0) = 2/7 и E(XY | X ≥ 0) = 1/7.
Cov(X, Y | X ≥ 0) = 1/7 − (4/7)(2/7) = −1/49.
Условную ковариацию нельзя получить простым делением исходной ковариации на вероятность условия: после отбора меняются и оба средних.
Переход к паре X и S
Каждая исходная клетка (x, y) переносится в (x, s = x + y), сохраняя вероятность:
| S / X | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| −1 | 0,1 | 0 | 0 |
| 0 | 0,2 | 0,2 | 0 |
| 1 | 0 | 0,1 | 0,3 |
| 2 | 0 | 0 | 0,1 |
Суммы строк дают P(S = −1, 0, 1, 2) = 0,1; 0,4; 0,4; 0,1 соответственно.
Проверка: E(S) = 0,5 совпадает с E(X) + E(Y). Дисперсия S по таблице равна 0,65, а по формуле суммы — 0,69 + 0,24 + 2 · (−0,14) = 0,65.
Моменты дискретной величины · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 16.1 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.