Перебросить только решки: распределение числа орлов после второй попытки

После повторного броска только решек каждая монета получает до двух шансов стать орлом. Число финальных орлов по-прежнему биномиально, но вероятность успеха для одной монеты увеличивается.

Научная визуализацияЧисло орлов до и после переброса решек

После переброса решек распределение числа орлов заметно сдвигается вправо: среднее растёт с 7 до 9,1.

ƒp=0,7; q=2p−p²=0,91; X~Binom(10;0,7); Y~Binom(10;0,91)

Условие

Десять монет независимо выпадают орлом с вероятностью p. Их бросают один раз; X — число орлов. Все монеты, выпавшие решкой, бросают ещё раз независимо. Y — число монет, лежащих орлом после двух этапов.

Найдите P(X = 5), P(Y = 5), общие вероятности значений k, средние и наиболее и наименее вероятные значения при p = 0,7. Сохранённые орлы повторно не бросаются.

Успех одной монеты

Монета останется решкой, только если обе её попытки неудачны. Поэтому вероятность финального орла:

q = 1 − (1 − p)² = 2p − p².

Результаты разных монет независимы, так что X ∼ Bin(10, p), Y ∼ Bin(10, q). При этом сами X и Y не независимы: всегда Y ≥ X.

Вероятности и ожидания

Для k = 0,…,10:

P(X = k) = C(10, k)pᵏ(1 − p)^10−k;
P(Y = k) = C(10, k)qᵏ(1 − q)^10−k.

Вне указанного диапазона вероятности нулевые. Для пяти орлов подставляем k = 5 и C(10, 5) = 252. При p = 0,7, q = 0,91 получаем P(X = 5) = 0,1029193452 и P(Y = 5) ≈ 0,0009285815.

E(X) = 10p; E(Y) = 10(2p − p²).

При p = 0,7 это 7 и 9,1. Речь идёт о числе монет с орлами в конце этапов, а не о числе бросков: второй этап не всегда состоит из десяти бросков.

Наиболее вероятные значения

Для Bin(n, a) отношение соседних вероятностей равно [(n − k)/(k + 1)] · a/(1 − a). Оно показывает, где вероятности перестают возрастать. Если (n + 1)a не целое, единственная мода равна его целой части.

Здесь 11 · 0,7 = 7,7 и 11 · 0,91 = 10,01, поэтому мода X равна 7, мода Y равна 10. Минимумы биномиальной последовательности достигаются на краях; при обоих параметрах больше 1/2 менее вероятен нулевой край. Поэтому наименее вероятное значение обеих величин — 0.

Уточнение исходного параметра

В тексте решения источника случайно появляется p = 0,3, хотя вопрос о модах задан для p = 0,7. Здесь сохранён параметр из условия. Биномиальные модели источника правильны; численные вероятности, моды и пояснения добавлены редакцией.

Эксперимент с переменным числом бросков · Математика.

Б. Демешев и участники · probability_pro, 10.3 · CC BY 4.0. Адаптация; параметр исправлен, решение дополнено.