Индикатор превращает событие в случайную величину: единица означает, что событие произошло, ноль — что нет. Его математическое ожидание совпадает с вероятностью события.
P(X=1)=p; E[X]=p; Var(X)=p(1−p)
Условие
Величина V равна 1, если некоторая вещь есть, и 0 иначе. Вероятность наличия равна 0,7. Составьте распределение, найдите E(V), Var(V), функцию распределения и объясните, существует ли обычная плотность. Затем запишите ответы для произвольной вероятности p.
В исходном сборнике решение не заполнено; далее приведён редакционный вывод.
Два возможных значения
| v | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P(V = v) | 0,3 | 0,7 |
Для общего 0 ≤ p ≤ 1 вероятности равны 1 − p и p. Такое распределение называется распределением Бернулли с параметром p.
Математическое ожидание и дисперсия
E(V) = 0 · (1 − p) + 1 · p = p.
Поскольку возможны только 0 и 1, равенство V² = V выполняется для каждого исхода. Поэтому E(V²) = p, а:
Var(V) = E(V²) − [E(V)]² = p − p² = p(1 − p).
При p = 0,7 получаем E(V) = 0,7 и Var(V) = 0,21. Среднее 0,7 не является возможным значением одного опыта: оно описывает усреднение большого числа повторений.
Функция распределения
Для F(x) = P(V ≤ x):
F(x) = 0 при x < 0;
F(x) = 1 − p при 0 ≤ x < 1;
F(x) = 1 при x ≥ 1.
График имеет скачок 1 − p в нуле и скачок p в единице. Значение в точке скачка берётся после включения вероятности этой точки, поскольку в определении стоит ≤.
Почему нет обычной плотности
Положительные вероятности сосредоточены в отдельных точках. Их нельзя получить интегрированием обычной функции по длине точечного множества. Поэтому используется функция вероятностей P(V = v), а не плотность непрерывного распределения.
Дополнительная проверка: p(1 − p) = 1/4 − (p − 1/2)². Максимальная дисперсия равна 1/4 при p = 1/2; при p = 0 или 1 результат постоянен и дисперсия нулевая.
Сумма индикаторов в задаче о коробках · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 10.1 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.