При равномерном распределении на единичном отрезке математическое ожидание функции равно её интегралу по этому отрезку. Но ожидание произведения функций одной величины нельзя заменять произведением ожиданий.
∫₀¹x³(1−x)⁷dx=B(4,8)=1/1320
Условие
Величина X равномерна на [0; 1]. Найдите E(X³) и E[X³(1 − X)⁷].
Плотность X на носителе равна 1, поэтому E(X³) = ∫₀¹ x³ dx = 1/4. Для второго пункта требуется интеграл произведения.
Бета-интеграл через интегрирование по частям
Обозначим I(a, b) = ∫₀¹ xᵃ(1 − x)ᵇ dx для неотрицательных целых a, b. При a ≥ 1 интегрирование по частям с первообразной −(1 − x)b+1/(b + 1) даёт:
I(a, b) = a I(a − 1, b + 1)/(b + 1).
Граничный член нулевой. Повторяя шаг, получаем I(a, b) = a!b!/(a + b + 1)!, поскольку I(0, a + b) = 1/(a + b + 1).
Подставим a = 3, b = 7:
E[X³(1 − X)⁷] = 3!7!/11! = 1/1320.
В обозначениях бета-функции это B(4, 8). Ответ совпадает с записью источника 1/[11C(10, 3)], потому что C(10, 3) = 120.
Проверка раскрытием скобок
По биному Ньютона (1 − x)⁷ = Σj=0⁷ (−1)ʲC(7, j)xʲ. Поэтому тот же интеграл равен:
Σj=0⁷ (−1)ʲC(7, j)/(j + 4) = 1/1320.
Этот способ корректен, но требует сложения дробей с компенсацией положительных и отрицательных слагаемых. Формула через факториалы короче и лучше показывает структуру результата.
Почему произведение средних не подходит
X и 1 − X полностью связаны: зная одно, мы точно знаем другое. Поэтому E(X³)E[(1 − X)⁷] = (1/4)(1/8) = 1/32 не является искомым ожиданием. Равенство ожидания произведению ожиданий требует дополнительных условий, которых здесь нет.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 4.23 · CC BY 4.0. Адаптация; ответы дополнены доказательствами.