Четыре туза делят остальные карты на пять промежутков: до первого, между соседними тузами и после последнего. У всех промежутков одинаковое среднее, хотя их длины зависимы.
E[Pₖ]=k·37/5, k=1,…,4
Условие и способ счёта
В случайном порядке лежат 36 карт, среди них четыре туза. Найдите среднее число извлечённых карт до появления второго туза, среднее число карт строго между вторым и третьим тузом и среднее число карт строго между тузом пик и тузом треф.
В первом пункте считаем и сам второй туз: речь о его позиции. Если требуется число карт, извлечённых строго перед ним, из первого ответа нужно вычесть единицу.
Пять промежутков
Нетузовых карт 32. Любое расположение четырёх тузов однозначно задаётся пятью неотрицательными длинами промежутков с суммой 32. Все такие наборы длин равновероятны, поскольку соответствуют равновероятным наборам позиций тузов.
По симметрии средняя длина каждого промежутка равна 32/5. Равенство средних не требует независимости: сумма длин всегда фиксирована.
Позиция второго туза
До второго туза находятся два промежутка нетузовых карт и первый туз. Если включить второй туз, получится:
E(позиция второго туза) = 2 + 2 · 32/5 = 74/5 = 14,8.
Среднее число карт строго перед ним равно 69/5 = 13,8. Дробное среднее не означает дробную позицию в одной конкретной колоде.
Между вторым и третьим
Это один из пяти промежутков нетузовых карт, поэтому среднее число карт между вторым и третьим тузами равно 32/5 = 6,4.
Между двумя заданными тузами
Теперь отмечены только туз пик и туз треф. Остальные 34 карты, включая двух других тузов, делятся на три обменных промежутка. Средний внутренний промежуток равен:
E(карт между двумя заданными тузами) = 34/3 ≈ 11,3333.
Если считать разность позиций, а не число карт строго между ними, следует прибавить единицу и получить 37/3.
Исправление исходных формул
В решении сборника при круговом аргументе с дополнительным джокером использовано 36 вместо 37. Для N карт и m отмеченных средняя позиция k-й отмеченной равна k(N + 1)/(m + 1). Здесь прямой подсчёт промежутков даёт 74/5, 32/5 и 34/3 и устраняет эту ошибку. Это редакционное исправление зафиксированной версии, а не утверждение об изменении репозитория.
Позиции выбранных объектов · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 4.21 · CC BY 4.0. Адаптация; численные формулы исправлены.