Если сильнейший всегда побеждает, случайность находится не в результате отдельного матча, а в порядке появления соперников. Серия побед означает, что команда оказалась сильнейшей среди уже встретившихся участников.
Для заранее выбранной команды: P(≥7 побед)=1/8; P(=7 побед)=1/72; P(8-я победа | 7 побед)=8/9
Условие и выбор команды
В турнире участвуют 20 команд разной силы. Сначала играют две случайные команды, проигравшая выбывает. Победитель встречается со случайной новой командой; процесс продолжается до последней команды. Всегда побеждает сильнейшая.
Найдите вероятность как минимум семи побед, ровно семи побед и победы в следующем матче после семи подряд. Формулировка источника допускает разные прочтения выбора команды. Сначала фиксируем одну из двух первоначальных команд до результата первого матча; ниже отдельно рассмотрен уже известный победитель первого матча. Полное решение добавлено редакцией.
Заранее выбранная команда
Пусть T₁ — выбранная команда, T₂ — её первый соперник, T₃ — следующий участник и так далее. Чтобы выиграть первые семь матчей, T₁ должна быть сильнее остальных семи команд среди T₁, …, T₈.
В случайном порядке каждая из восьми команд равновероятно оказывается сильнейшей. Поэтому:
P(не менее 7 побед у T₁) = 1/8.
Аналогично вероятность не менее восьми побед равна 1/9. Ровно семь побед означают семь побед и последующее поражение:
P(ровно 7 побед у T₁) = 1/8 − 1/9 = 1/72.
Следующая победа после семи
Событие восьми побед содержится в событии семи. Следовательно:
P(восьмая победа | первые семь выиграны) = (1/9)/(1/8) = 8/9.
Высокая условная вероятность не означает изменения силы команды. Семь побед дали информацию: она сильнее семи уже появившихся соперников.
Когда команда — победитель первого матча
Если команду выбирают только после первой победы, её исходная вероятность победить в первом матче уже не входит в расчёт. Вероятности не менее семи и ровно семи общих побед становятся соответственно 1/4 и 1/36: предыдущие ответы делятся на 1/2.
Это также вероятности того, что хотя бы одна из первоначальных двух команд добьётся указанного результата: обе не могут выиграть первый матч. Условная вероятность восьмой победы после семи остаётся 8/9.
Проверка формулировки
Условие «одержала семь побед и ещё играет» означает не менее семи побед к текущему моменту. Если уже известно, что итоговое число побед ровно семь, следующий матч по определению проигран. Эти два вида информации нельзя смешивать.
Случайная длина спортивной серии · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 7.15 · CC BY 4.0. Адаптация; трактовки разделены, решение редакции.