Информация о первом броске меняет множество допустимых исходов. После условия нужно заново определить знаменатель вероятности, а не просто удалить неподходящие пары из числителя.
A={X₁+X₂=8}; B={X₁=3}; P(A)=5/36; P(A|B)=1/6; P(B|A)=1/5Условие
Правильный кубик бросают два раза независимо. Какова вероятность суммы 8? Какова она, если известно, что при первом броске выпало 3?
Обозначим A — событие суммы 8, B — тройка при первом броске. Все 36 упорядоченных пар результатов равновероятны. Пары (3, 5) и (5, 3) различаются, поскольку учитывается порядок бросков.
Без дополнительной информации
Подходят пять пар: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2). Каждая имеет вероятность 1/36, поэтому:
P(A) = 5/36.
Суммы от 2 до 12 не равновероятны. Например, сумму 2 даёт только одна пара, поэтому считать вероятность суммы 8 равной 1/11 нельзя.
Первый бросок уже известен
После условия B возможны только пары (3, 1), …, (3, 6). Они равновероятны, а сумму 8 даёт единственная пара (3, 5). Отсюда:
P(A | B) = 1/6.
Проверка определением условной вероятности: P(A ∩ B) = 1/36 и P(B) = 1/6. Поэтому (1/36)/(1/6) = 1/6. Этот условный ответ указан и в источнике; исходная вероятность и подробный подсчёт здесь развёрнуты редакцией.
Обратное условие — другой вопрос
Дополнение: если известно, что сумма равна 8, вероятность первой тройки равна P(B | A) = (1/36)/(5/36) = 1/5. Теперь допустимы пять пар с нужной суммой, а не шесть пар с первым значением 3.
Таким образом, P(A | B) = 1/6 и P(B | A) = 1/5. Переставлять событие и условие нельзя. Независимость бросков также не означает независимость события суммы от первого результата: сумма прямо использует оба броска.
Формула Байеса на примере монет · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 7.3 · CC BY 4.0. Адаптация; разбор и обратная вероятность добавлены.