На втором этапе случайно не только время ожидания, но и сама цель: сколько орлов нужно набрать. Поэтому дисперсия складывается из двух разных источников неопределённости.
Var(X)=E[Var(X|Y)]+Var(E[X|Y])
Условие
Монета выпадает орлом с вероятностью p. Сначала её бросают 100 раз и записывают число орлов Z. Затем начинают новую серию и бросают до получения Z орлов. X — число бросков второй серии. Найдите E(X | Z), Var(X | Z), E(X) и Var(X).
Считаем все броски независимыми, 0 < p ≤ 1. При Z = 0 второй этап не требует ни одного броска: X = 0. В источнике решение не заполнено; далее дан редакционный вывод.
При известном числе орлов
Если Z = z, второй этап состоит из z ожиданий очередного орла. Каждое ожидание имеет геометрическое распределение, считая успешный бросок: среднее 1/p, дисперсия (1 − p)/p². Эти времена независимы, поэтому:
E(X | Z) = Z/p;
Var(X | Z) = Z(1 − p)/p².
При Z = 0 обе формулы также дают ноль. Это удобнее, чем вводить отдельный неопределённый случай отрицательного биномиального распределения с нулевой целью.
Безусловное среднее
На первом этапе Z имеет распределение Bin(100, p), так что E(Z) = 100p и Var(Z) = 100p(1 − p). По формуле полного ожидания:
E(X) = E(Z/p) = 100.
Уменьшение p одновременно увеличивает время ожидания одного орла и уменьшает среднее число орлов, которое требуется повторить. Эти эффекты точно компенсируются в среднем.
Полная дисперсия
Используем разложение Var(X) = E[Var(X | Z)] + Var[E(X | Z)]. Первый вклад — случайная длительность ожидания при заданной цели, второй — изменчивость самой цели:
E[Var(X | Z)] = 100(1 − p)/p;
Var[E(X | Z)] = 100(1 − p)/p.
Следовательно:
Var(X) = 200(1 − p)/p.
Подстановка среднего Z вместо случайного Z сохранила бы правильное среднее X, но потеряла бы половину дисперсии.
Пример и границы модели
При p = 1/2 среднее число бросков второго этапа равно 100, дисперсия — 200. При p = 1 цель всегда равна 100 и второй этап занимает ровно 100 бросков. При p = 0 цель всегда нулевая и X = 0; это отдельный вырожденный случай, не подстановка в формулы для p > 0.
Геометрическое распределение · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 23.2 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.