Серия из двух орлов — не то же самое, что два орла в произвольных местах. Решка между орлами обнуляет накопленный прогресс, и это нужно отразить в состояниях эксперимента.
E[T]=6; E[H]=E[T]/2=3; E[Tails]=3
Условие и обозначения
Независимо бросают монету с вероятностью орла p до появления двух орлов подряд. Найдите среднее общее число бросков, число орлов и число решек, включая завершающие броски. Предполагается 0 < p ≤ 1.
В задаче 2.10 русская формулировка неполна, а английская использует решки вместо орлов. Здесь явно выбрана модель русской схемы решения: остановка на ОО, p — вероятность орла. Это уточнение адаптации, а не дословное повторение условия.
Два состояния вместо бесконечного дерева
Пусть a — среднее оставшееся число бросков, когда подходящего орла в конце последовательности нет, а b — когда последний бросок уже дал один орёл. Первый следующий бросок учитывается единицей:
a = 1 + pb + (1 − p)a;
b = 1 + (1 − p)a.
Из второго состояния орёл завершает эксперимент, а решка возвращает к первому. Подставляя b в первое уравнение, получаем p²a = 1 + p. Следовательно:
E(N) = (1 + p)/p².
При правильной монете p = 1/2 среднее равно 6 броскам. Простое удвоение ожидания одного орла дало бы 4 — оно не учитывает требование последовательности.
Среднее количество орлов и решек
k-й бросок совершается, если остановка ещё не произошла до него. Это зависит только от предыдущих результатов, поэтому на каждом реально выполняемом броске вероятность орла остаётся p. Суммируя ожидаемые вклады бросков, получаем:
E(H) = pE(N) = (1 + p)/p;
E(T) = (1 − p)E(N) = 1/p² − 1.
При p = 1/2 оба средних равны 3. В отдельном опыте орлов не обязательно ровно два: до завершающей пары могли появляться одиночные орлы, отделённые решками.
Проверки
Сумма E(H) + E(T) совпадает с E(N). При p = 1 всегда происходят ровно два броска: оба орлы. При p = 0 остановка невозможна, поэтому формулы с делением на p к этому случаю не применяются. Числа 6 и 3 в исходном решении относятся именно к p = 1/2, а не к произвольному p.
Ожидание первого орла · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 2.10 · CC BY 4.0. Адаптация; модель уточнена, вывод дополнен.