Парадокс дней рождения: 30 человек, порог 23 и первое совпадение

Вероятность совпадения хотя бы у одной пары растёт гораздо быстрее, чем вероятность совпадения с днём рождения заранее выбранного человека. Это разные события: во втором случае проверяется только один фиксированный день.

Научная визуализацияПорог парадокса дней рождения

При 23 людях вероятность совпадения уже превышает 50 процентов, а при 30 составляет около 70,63 процента.

ƒP(match by k)=1−∏ᵢ₌₀ᵏ⁻¹(365−i)/365

Условие и модель

Найдите вероятность отсутствия совпадений дней рождения у 30 человек; минимальное число людей, при котором вероятность хотя бы одного совпадения превышает 1/2; среднее число вошедших в комнату до первого совпадения.

Используем учебную модель: 365 равновероятных дней, независимые дни рождения, 29 февраля не учитывается. Без этих предположений приведённые числа не следуют из одного размера группы.

Вероятность отсутствия совпадений

Первый человек может родиться в любой день. Второму остаются 364 незанятых дня, третьему — 363. Пусть q_n — вероятность, что первые n дней рождения различны. Тогда q₀ = q₁ = 1, а для 1 ≤ n ≤ 365:

q_n = ∏_j=0ⁿ⁻¹(1 − j/365) = 365! / [(365 − n)! · 365ⁿ].

Для 30 человек последний множитель равен 336/365. Получаем q₃₀ ≈ 0,2936837573. Вероятность хотя бы одного совпадения равна 1 − q₃₀ ≈ 0,7063162427.

Почему достаточно 23 человек

Вычислять соседние вероятности удобно по рекурсии q_n+1 = q_n(365 − n)/365. Вероятность совпадения при 22 людях составляет 0,4756953077, при 23 — 0,5072972343. Она не убывает с ростом группы, поэтому 23 — минимальное число, при котором она строго больше половины.

Когда произойдёт первое совпадение

Пусть T — номер вошедшего, чьё появление впервые создаёт совпадение, включая этого человека. Событие T > n означает, что первые n дней рождения различны. Для положительной целочисленной величины:

E(T) = Σ_n=0³⁶⁵P(T > n) = Σ_n=0³⁶⁵q_n ≈ 24,6165858946.

Сумма конечна: при 366 людях совпадение обязательно. Значения 23 и 24,62 не противоречат друг другу. Первое — порог вероятности 1/2, второе — среднее время первого совпадения.

Проверка исходного ответа

В записи произведения для 30 человек в источнике есть опечатка в последнем множителе. Здесь он заменён на 336/365, согласованный с общим произведением. Расчёт E(T), отсутствующий в заполненной части исходного решения, добавлен редакцией.

Математика: задачи и решения · Теория вероятностей.

Б. Демешев и участники · probability_pro, 1.5 · CC BY 4.0. Адаптация, исправление и дополнение решения.