У случайного вектора, распределённого на линии, может не быть двумерной плотности по площади. В этой задаче достаточно длин двух отрезков и формулы полного ожидания.
Условие
Точка X = (X₁, X₂) равномерно выбирается на ломаной (1, 0) — (0, 0) — (0, 1). Найдите E(X) и P(3X₁ + 2X₂ > 1).
Равномерность понимается по длине ломаной. Каждое звено имеет длину 1, вся ломаная — длину 2. Поэтому горизонтальное и вертикальное звенья выбираются с равными вероятностями 1/2.
Средние координаты
На горизонтальном звене X₂ = 0, а X₁ равномерна от 0 до 1 и имеет среднее 1/2. На вертикальном звене наоборот: X₁ = 0, среднее X₂ равно 1/2.
По формуле полного ожидания:
E(X₁) = (1/2) · (1/2) + (1/2) · 0 = 1/4;
E(X₂) = (1/2) · 0 + (1/2) · (1/2) = 1/4.
Следовательно, E(X) = (1/4, 1/4). Средняя точка не обязана лежать на самой ломаной: ожидание является средним координат, а не обязательно возможным результатом опыта.
Вероятность линейного неравенства
На горизонтальном звене неравенство принимает вид 3X₁ > 1. Подходит участок X₁ > 1/3 длины 2/3.
На вертикальном звене остаётся 2X₂ > 1. Подходит участок X₂ > 1/2 длины 1/2.
Делим суммарную подходящую длину на длину всей ломаной:
P(3X₁ + 2X₂ > 1) = (2/3 + 1/2)/2 = 7/12.
Равносильная запись: (1/2) · (2/3) + (1/2) · (1/2) = 7/12. Концы подходящих участков имеют нулевую вероятность.
Типичная ошибка
Нельзя искать площадь области внутри треугольника между звеньями: случайная точка никогда не выбирается из его внутренности. Сначала нужно установить, относительно какой величины распределение равномерно — длины, площади или объёма.
Источник содержит ответы (1/4, 1/4) и 7/12. Пошаговый вывод и комментарии добавлены редакцией.
Связанные материалы
Теория вероятностей и случайные векторы · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 4.8 · CC BY 4.0. Адаптировано; краткие ответы дополнены выводом.