В этой задаче кусок выбирается не случайным жребием, а через отмеченную точку. Такой способ выбора даёт преимущество длинным кускам, и симметричный на первый взгляд ответ 1/2 оказывается неверным.
Условие
Аня держит верёвку в форме окружности в произвольной точке. Боря разрезает её в двух случайных независимых местах. Аня забирает кусок, за который держится, Боря — оставшийся. Вся верёвка имеет единичную длину. Найдите ожидаемую длину Аниного куска и вероятность того, что он длиннее Бориного.
Места разрезов равномерны по окружности и не зависят от выбранной Аней точки. Через L обозначим длину её куска.
Средняя длина через три точки
Отметим два разреза и точку Ани. По симметрии окружности можно рассматривать три независимо и равномерно выбранные точки; они делят окружность на три промежутка с одинаковыми средними длинами. Суммарная длина равна 1, значит средняя длина каждого промежутка — 1/3.
Ане достаются два промежутка, прилегающие к её точке. Поэтому:
E(L) = 2/3.
Это геометрическое рассуждение из исходного решения. Борин кусок имеет среднюю длину 1/3.
Вероятность получить более длинный кусок
Для подробного расчёта объявим точку Ани нулём и развернём окружность в отрезок от 0 до 1. Координаты разрезов U и V независимы и равномерны. Между ними находится кусок без отмеченного нуля длины |U − V|. Следовательно, L = 1 − |U − V|.
Анин кусок длиннее тогда и только тогда, когда L > 1/2, то есть |U − V| < 1/2.
Пара (U, V) равномерна в единичном квадрате. Неудачные случаи образуют два угловых прямоугольных треугольника с катетами 1/2. Их суммарная площадь равна 2 · (1/2) · (1/2)² = 1/4.
P(Анин кусок длиннее) = 1 − 1/4 = 3/4.
Что меняет правило выбора
Если бы после разрезания два куска раздавали по честной монете, оба участника имели бы одинаковую среднюю длину 1/2. Здесь Аня получает кусок с заранее выбранной точкой: длинному куску легче содержать эту точку.
Численные ответы 2/3 и 3/4 совпадают с источником. Координатная запись L = 1 − |U − V| и сравнение с жеребьёвкой добавлены для пояснения.
Связанные материалы
Геометрическая вероятность и математическое ожидание · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 4.4 · CC BY 4.0. Адаптировано; координатный расчёт развёрнут.