Задача 2.6 из «Заметок к семинарам по вероятностям» иллюстрирует случайное время остановки. Это математическая модель, а не описание реальной демографической статистики или рекомендация по планированию семьи.
Условие и модель
Саша и Маша решили заводить новых детей, пока в семье не будут дети обоих полов. X — итоговое число детей. Найдите P(X = 4) и E(X).
В исходном решении используется идеализация: у каждого рождения два равновероятных исхода — мальчик и девочка, результаты независимы. Именно в рамках этих предположений получены следующие ответы.
Вероятность остановиться на четвёртом ребёнке
Чтобы семья не остановилась раньше, первые три ребёнка должны быть одного пола. Четвёртый должен быть другого. Возможны ровно две последовательности: МММД и ДДДМ.
Вероятность каждой последовательности равна (1/2)⁴ = 1/16. Поэтому:
P(X = 4) = 2 · 1/16 = 1/8.
Последовательность ММДМ не подходит: по правилу задачи процесс завершился бы уже после третьего ребёнка. Время остановки определяется первым появлением обоих исходов, а не только составом первых четырёх наблюдений.
Математическое ожидание
Первый ребёнок появляется обязательно. После него остаётся дождаться противоположного исхода. При каждом следующем рождении вероятность такого исхода равна 1/2.
Пусть μ — среднее дополнительное число рождений после первого. По первому шагу μ = 1 + (1/2)μ, следовательно, μ = 2.
E(X) = 1 + 2 = 3.
Ответы 1/8 и 3 совпадают с источником. Здесь ожидание выведено через время ожидания противоположного исхода вместо исходной системы состояний.
Дополнение: полное распределение
По тому же рассуждению для любого k ≥ 2 подходят две последовательности: k − 1 одинаковых исходов и противоположный на последнем месте. Отсюда:
P(X = k) = 2 · (1/2)k = 21 − k.
Первые вероятности равны 1/2, 1/4, 1/8, …; их сумма равна 1. Значение X = 1 невозможно, а фиксированного верхнего ограничения у X нет. Полная формула распределения добавлена при редакционной обработке.
Связанные материалы
Остановка при первом подходящем исходе · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 2.6 · CC BY 4.0. Адаптировано; модель уточнена, распределение дополнено.