Задача 2.1 из «Заметок к семинарам по вероятностям»: как составить уравнение для повторяющегося случайного эксперимента, не перечисляя бесконечно много исходов.
Условие
Саша и Маша по очереди подбрасывают кубик. Посуду будет мыть тот, кто первым выбросит шестёрку. Маша начинает. Какова вероятность, что посуду будет мыть Маша? Сколько в среднем бросков сделают оба участника вместе?
В решении используется правильный кубик и независимые броски: на каждом шаге вероятность шестёрки равна 1/6.
Уравнение для вероятности
Пусть p — искомая вероятность перед первым броском Маши. С вероятностью 1/6 она сразу выбросит шестёрку. Чтобы ситуация повторилась, сначала Маша, а затем Саша должны выбросить что-то другое. Вероятность такого полного круга равна (5/6)².
После двух неудачных бросков очередь снова у Маши, и её дальнейшая вероятность не изменилась:
p = 1/6 + (25/36)p.
Переносим слагаемое с p влево: (11/36)p = 1/6. Отсюда:
P(посуду моет Маша) = 6/11.
Для Саши остаётся 5/11. Несмотря на одинаковые кубик и правила, вероятности не равны: Маша имеет дополнительную возможность закончить эксперимент до первого броска Саши.
Среднее общее число бросков
Для подсчёта продолжительности уже неважно, кто бросает. Пусть μ — число бросков в среднем. Первый бросок делается обязательно. С вероятностью 5/6 шестёрка не выпадет, после чего в среднем потребуется ещё μ бросков:
μ = 1 + (5/6)μ, поэтому μ = 6.
В число шести входит завершающий бросок. Это не среднее число ходов каждого участника и не число полных кругов.
Проверка другим способом
Маша может закончить эксперимент на бросках 1, 3, 5 и так далее. Складывая вероятности, получаем геометрический ряд:
p = (1/6)[1 + (5/6)² + (5/6)⁴ + …] = (1/6)/(1 − 25/36) = 6/11.
Эта проверка разворачивает ту же повторяющуюся структуру, которую первое уравнение описывает одной строкой.
Связанные материалы
Продолжительность серии до трёх побед · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 2.1 · CC BY 4.0. Адаптировано; добавлена проверка геометрическим рядом.