Задача на дерево вероятностей: число испытаний зависит от первого результата. Условие и ответы взяты из задачи 1.3 сборника «Заметки к семинарам по вероятностям»; ниже — текстовый разбор вместо графического дерева.
Условие
У Маши две монетки: золотая и серебряная. Сначала она подкидывает золотую. Если выпал орёл, серебряную подкидывает один раз; если решка — два раза. Случайная величина X равна общему числу орлов на обеих монетах. Найдите распределение X и математическое ожидание.
Как и в решении сборника, считаем монеты правильными, а отдельные броски независимыми. Это уточнение используемой модели.
Какие исходы возможны
Обозначим орла буквой О, решку — Р. Первая буква относится к золотой монете, остальные — к серебряной.
| Последовательность | Вероятность | Число орлов |
|---|---|---|
| ОО | 1/4 | 2 |
| ОР | 1/4 | 1 |
| РОО | 1/8 | 2 |
| РОР | 1/8 | 1 |
| РРО | 1/8 | 1 |
| РРР | 1/8 | 0 |
У двухбуквенного исхода вероятность (1/2)², у трёхбуквенного — (1/2)³. Поэтому шесть строк таблицы нельзя считать равновероятными.
Распределение X
Ноль орлов даёт только РРР, один — ОР, РОР и РРО, два — ОО и РОО. Складываем вероятности несовместных исходов:
P(X = 0) = 1/8;
P(X = 1) = 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1/2;
P(X = 2) = 1/4 + 1/8 = 3/8.
Проверка суммы: 1/8 + 1/2 + 3/8 = 1.
Математическое ожидание
E(X) = 0 · 1/8 + 1 · 1/2 + 2 · 3/8 = 5/4 = 1,25.
Это среднее число орлов в повторениях всего эксперимента, а не в одном броске. В каждом отдельном эксперименте X принимает только значения 0, 1 и 2.
Связанные материалы
Распределение числа конфет до первого ореха · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 1.3 · CC BY 4.0. Адаптировано: дерево заменено таблицей, модель уточнена.