Условие
Для полного погружения деревянного куба нужна минимальная работа 10 Дж, для извлечения — 810 Дж. Плотность воды 1000 кг/м³. Движение медленное; сопротивлением и поверхностным натяжением пренебрегаем.
Решение по шагам
Обозначим ребро a, долю погружения q = ρ/ρ₀. В равновесии погружено qa. При подъёме на x сила, компенсирующая уменьшение выталкивающей силы, равна ρ₀ga²x. Интеграл от 0 до qa даёт W↑ = ρ₀ga⁴q²/2.
При опускании путь (1 − q)a, поэтому W↓ = ρ₀ga⁴(1 − q)²/2. Делим: (1 − q)/q = √(10/810) = 1/9. Следовательно q = 9/10, плотность дерева 900 кг/м³. Размер куба и g сокращаются.
Проверка результата
Работа извлечения больше в 81 раз: начальная глубина погружения в девять раз больше пути до полного погружения. Плотность меньше плотности воды, как требуется для плавания.
Типичная ошибка
Умножать постоянную силу на весь путь: сила меняется линейно, нужна площадь треугольника под её графиком.
Что даёт этот метод
При переменной силе сначала выразите её через координату.
Дальше по теме
Физика, химия и астрономия: школьный практикум.
Следующие разборы
- Четыре неизвестных элемента: расшифровка по осадку и реакциям
- Кристаллизация KI: 12 г осадка при охлаждении
Условие адаптировано из открытого источника: 37-й Турнир имени М. В. Ломоносова, МЦНМО, задания 2014 года, fizika: задача 5. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. МЦНМО C0: распространение без ограничений. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.