Сто нажатий старого пульта: вероятность включённого телевизора

Надёжность пульта может ухудшаться, но это не обязательно меняет вероятность того, что телевизор включён. В задаче работает симметрия между двумя состояниями, а не конкретный закон падения надёжности.

Условие и необходимое предположение

Телевизор выключен. Вася нажимает On–Off сто раз. Первое нажатие срабатывает с вероятностью 1/2, затем вероятности срабатывания уменьшаются. Найдите вероятность включённого телевизора после всех нажатий.

Обозначим вероятности через p₁, …, p₁₀₀. Для решения предполагается, что срабатывания независимы; достаточно и более слабого условия: вероятность срабатывания на данном шаге не зависит от текущего состояния телевизора и предыдущей истории. Только отдельных безусловных вероятностей недостаточно.

Рекурсия

Пусть qᵢ — вероятность включённого состояния после i нажатий. На следующем шаге включённый телевизор останется включённым при несрабатывании, а выключенный включится при срабатывании:

qᵢ = q_i−1(1 − pᵢ) + (1 − q_i−1)pᵢ = pᵢ + (1 − 2pᵢ)q_i−1.

После первого нажатия q₁ = 1/2. Если q_i−1 = 1/2, правая часть снова равна 1/2 при любом pᵢ. Следовательно:

q₁₀₀ = 1/2.

Строгое убывание pᵢ для этого результата не требуется. Последующие вероятности могут меняться произвольно, пока сохраняется указанное условие о срабатываниях.

Общая формула

Из рекурсии следует 1 − 2qᵢ = (1 − 2pᵢ)(1 − 2q_i−1). При выключенном начальном состоянии q₀ = 0 получаем:

qₙ = [1 − ∏_i=1ⁿ(1 − 2pᵢ)]/2.

Первое p₁ = 1/2 обнуляет произведение. Эквивалентно, телевизор включён, когда число успешных переключений нечётно; первое независимое симметричное переключение уравнивает вероятности обеих чётностей.

Почему предположение существенно

Если второе срабатывание возможно только при первом, с P(первое) = 1/2 и P(второе) = 1/4, то после двух шагов телевизор включён с вероятностью 1/4, а не 1/2. Это зависимая модель с теми же отдельными вероятностями срабатывания.

Ответ 1/2 совпадает с источником. Здесь исправлены индексы в рекурсии и явно обозначена предпосылка, на которой он основан.

Математика.

Б. Демешев и участники · probability_pro, 2.9 · CC BY 4.0. Адаптация; индексы и предпосылки уточнены.