Модель
f(x)=α x_m^α / x^{α+1}, x≥x_m, α>0; x_m известно.
Логарифм правдоподобия
ℓ(α)=nlnα+nαlnx_m−(α+1)ΣlnX_i.
Score
n/α+nlnx_m−ΣlnX_i=0.
Следовательно,
α̂=n / Σ ln(X_i/x_m).
Точная связь
Y_i=ln(X_i/x_m)∼Exp(rate=α). Поэтому задача сводится к оцениванию exponential rate.
При n>1 E(α̂)=nα/(n−1), то есть ММП смещена вверх. Несмещённая версия (n−1)/ΣY_i.
Поддержка
Если хотя бы одно X_i<x_m, правдоподобие модели равно нулю для всех α; это означает несовместимость данных с заданным известным порогом.
Редакционная практика по Pareto/MLE из statistics_pro · CC0 1.0.